Сообщения без ответов | Активные темы
Логика, математика, физика
Автор |
Сообщение |
Стравада
Зарегистрирован: 06 фев 2010, 23:21 Сообщений: 347
|
Логика, математика, физика
В статье "Санкхья и Йога" Борис Леонидович Смирнов пишет:
"Путём невообразимых усилий, пройдя неизбежный путь социального, политико-экономического и культурного развития, человечество пришло к мысли, что логика не может быть построена как чисто формалистическая теория дедукции, что теория понятия, аксиоматика и учение о законах мышления неизбежно связаны со свойствами «мыслимого». Символика современной математической логики показала невозможность дальнейшего сохранения закона исключённого третьего в качестве универсального закона мышления… Признание случаев, когда невозможно утверждать ни равенство, ни неравенство двух чисел, означает для логики отказ от метода доказательства, известного под названием reductio ad absurdum (приведение к нелепости*)." ----- * Ср. В. Асмус, введение к переводу кн. Серрюса: «Опыт исследования значения логики», стр. 21.
"Приведение к нелепости" известный способ доказательства и я сам часто к нему прибегаю. Поэтому меня заинтересовало, почему этот метод недействителен. Что это за случай, когда невозможно утверждать ни равенство, ни неравенство двух чисел? Вроде бы мы всегда и очень легко отличаем, равно одно число другому или не равно. Пришлось обратиться к книге, на которую ссылается Смирнов. В принципе, по фактам ничего нового я не узнал, а вот по выводам приходится согласиться - "третьего не бывает" не всегда работает. Мы все знаем, что есть иррациональные числа, например число Пи. Допустим у нас есть некое число "А" (3,14159....), совпадающее в десятичных знаках с числом Пи (3,14159....) на такую, невообразимую длину, после которой вычисление невозможно. Можем ли мы утверждать, равно А и Пи или не равно? Т.е. математика не обладает методом строгого и легкого различения одного иррационального числа от другого если они близки друг к другу. Т.е. возможна ситуация, когда "а или равно b, или не равно b".
Вроде бы все просто... Но рушится "универсальность" логики, причем даже в тех областях, где она традиционно применялась.
Последний раз редактировалось Стравада 17 дек 2012, 20:36, всего редактировалось 3 раз(а).
|
21 авг 2012, 20:08 |
|
|
Стравада
Зарегистрирован: 06 фев 2010, 23:21 Сообщений: 347
|
"Русское умножение"
Феномен русского умножения. Мы привыкли, что умножить два числа можно только определённым способом в столбик, как нас учили в школе. Однако, история знает другие способы умножения. Вот, в частности, способ "русского умножения", употреблявшийся русскими крестьянами. Используется свойство чисел, когда множитель делится на два, а множимое умножается на два, при этом произведение не меняется, т.к. умножение и деление взаимокомпенсируются. 16 * 75 8 * 150 4 * 300 2 * 600 1 * 1200 Ответ - 16*75 = 1200. См. статью об этом на сайте Числнонавтика. Там рассматриваются и другие примеры "русского умножения". http://numbernautics.ru/chislonautics/2 ... 6-11-04-13
|
21 авг 2012, 20:24 |
|
|
Страж
Зарегистрирован: 15 янв 2010, 15:03 Сообщений: 1040
|
Re: Логика и математика
Вовсе нет. Просто формальная логика имеет довольно узкий спектр применения. Я уж не говорю о диалектике, которая принципиально выходит за рамки бинарного выбора (да-нет, 1-0). Что касается приведенной цитаты Смирнова, то скорее всего он говорит о работах в области нечеткой логики, появившихся в середине 60-х гг. (математик Заде). В основе теории нечеткой логики лежит тезис, что помимо полярных утверждений "да" и "нет" вводятся промежуточные состояния, скажем, "не знаю", "возможно". "Пространство между "да" и "нет" математически определяется с помощью функции принадлежности. И это правильно, поскольку в жизни никогда не бывает однозначных "цифровых" положений. К слову, эта тема напрямую пересекается с обсуждением по ветке иноприродности. Подобными "феноменами" активно пользуются и сейчас и в школе и в быту. Вот еще примеры: если сумма цифр числа делится на три, то и все число делится на три, если последняя цифра четная - то число делится на два, если два число образованное двумя последними цифрами числа делится на 4, то все число делится на 4; пересчет масштаба, скажем 1:500 - не обязательно делить размер на 500, можно умножить его на два и отнять три порядка, масштаб 1:200 - умножаем на 5, и т.д. и т.п.
|
22 авг 2012, 09:20 |
|
|
bozhday
Зарегистрирован: 15 янв 2010, 09:45 Сообщений: 406
|
Re: Логика и математика
Страж, мне кажется, что Смирнов говорит об общем кризисе фундамента математики начала ХХ века. На мой взгляд, основной причиной этого кризиса явилось то, что математики (начиная с Г. Кантора) замахнулись на невозможное - на бесконечность. Совершенно все противоречия формальной логики и теории множеств, так или иначе, вытекают из попыток включить в строгие математические построения понятие бесконечности (наравне со всеми другими понятиями). Но вся беда в том, что "бесконечность" обнаружила весьма странные свойства. Например, с ней трудно обращаться посредством догматов натурального ряда чисел и математической индукции - основы основ любого логического доказательства. К любому не очень большому числу можно добавить единицу и оно от этого увеличится ровно на 1. Но вероятно, добавление единицы к очень большим числам вообще не должно их менять. Тут проявляется совершенно иная логика, более близкая к физической реальности - когда добавление одной молекулы воды в океан совершенно не влияет на его макрообъем. А канторовское противопоставление счетных и несчетных бесконечностей вообще привело к глубочайшим философским последствиям. Оказалось, что возможно мыслить сущности, которые нельзя назвать. Множество всех имен в любом языке счетно и следовательно меньше, чем множество мыслимых сущностей (которое несчетно). Часть мыслимых элементов остается без имени. И т.д. и т.п. Однако, кризис - лучший двигатель прогресса. Возникшая в математике "культура невозможного" и все попытки познания бесконечного принесли необычайные и далеко идущие результаты. Например, попытки преодоления парадокса Рассела привели в 30-ых годах ХХ века к созданию лямбда-исчисления, которое, в свою очередь, стало основой функционального подхода к программированию, которое в свою очередь позволяет преодолеть тупик фон-неймановской ограниченности нынешних компьютеров - а это, в свою очередь открывает необъятные перспективы для будущего вычислительной техники и всего информационного мира. Другой пример (берущий начало из более ранних эпох) - невозможность решения уравнения 5-ой степени в радикалах. Техника медитации на эту частную невозможность привела к возникновению математической концепции групп, которая неожиданно оказалась родным языком для описания симметрии; а это в свою очередь глубоким образом повлияло на современное видение фундамента физического мира. И таких примеров масса.
|
22 авг 2012, 10:29 |
|
|
Страж
Зарегистрирован: 15 янв 2010, 15:03 Сообщений: 1040
|
Re: Логика и математика
Бождай, полностью согласен! И в ряду подобных примеров и пресловутый Шредингеров эксперимент, и современные представления физики элементарных частиц, сводящиеся по-сути к простому утверждению, что материя - это пустота. Т.е. твое утверждение, что может быть расширено до кризиса позитивистского мировоззрения (так ярко продемонстрированного нам Азом) как такового. Говоря уж совсем попросту, мир оказывается "несколько сложнее" схем и моделей, а это значит, что, во-первых, они применимы к какой-то весьма локальной локальности; во-вторых, попытки обобщения сделанные при помощи формально логических схем несут в себе неизбежную и принципиальную ошибку.
|
22 авг 2012, 10:50 |
|
|
Коловрат
Зарегистрирован: 15 янв 2010, 12:38 Сообщений: 1464
|
Re: Логика и математика
Здравствуйте, Сварожичи!
Бождай, всё понятно, но ничего не понятно! Ты говоришь очень интересные вещи, но без экскурса в математику, то есть, без твоей подробной экскурсии для дилетантов, коими являются здесь почти все - твоё сообщение становится китайской грамотой. А хотелось бы разобраться, так как действительно очень интересно.
О Канторе я слышал, мне провели "экскурсию для дилетанта", и весь абзац, касающийся Кантора более-менее понятен. (Хотя, конечно, хотелось бы более подробного рассказа о "феномене Кантора".
А вот следующие абзацы - вызвали затык. Частично этот затык преодолевается обращением к Википедии и прочим средствам Интернета. Но только частично.
Короче говоря, если у тебя вдруг появится возможность провести подобную экскурсию, мы (говорю "мы", так как убеждён, что к этой просьбе присоединятся много людей) будем очень признательны.
|
22 авг 2012, 11:44 |
|
|
bozhday
Зарегистрирован: 15 янв 2010, 09:45 Сообщений: 406
|
Re: Логика и математика
Да, так и есть. Но я намеренно не стал затрагивать примеры из области физики, чтобы подчеркнуть сугубо "нефизичный" корень кризиса. Страж, упомянутые тобой примеры - это уже следующий шаг, когда противоречивые теоретические построения вошли в соприкосновение с реальным миром. Является ли материя пустотой? Ведь этот вопрос также упирается в бесконечность - применимо ли к материи операция бесконечного деления? Математика не видит в этом ничего невозможного и обращается с физическими вещами как с идеальными числами. А на деле (при неправильном понимании сути математики) такой подход неизбежно уводит в пустоту. Пустота здесь - это просто обозначение, признак "системного сбоя" мышления - типа деления на ноль. Я считаю, что все "чудеса" квантовой механики - это продукт математической идеализации, попытка один-в-один заменить элементы уравнений физическими аналогами. Реальность математична, но не в первом приближении! Допустим, создаем новый математический объект Z путем операции Z=X+Y. Несмотря на математическую строгость этой операции, в физическом мире ее реализовать не всегда возможно. Пусть X - яблоко, Y - груша, что тогда Z ? Просто яблоко и груша, т.е. X+Y=X+Y и никакого Z! При физической реализации почти все математические утверждения обращаются в тавтологию. Можно и по-другому: пусть X - стакан воды, Y - стакан уксуса, что тогда Z? Некое новое образование, раствор. Однако получен он лишь благодаря тому, что X и Y перестали существовать, т.е. Z=Z! А в математике Z прекрасно образуется без всякого ущерба для X и Y. Это только простейшие опыты. При более сложных экспериментах нестыковки, разумеется, еще более серьезные. Математика очень серьезная и могущественная магия. Но она не терпит прямого прикосновения руками.
|
22 авг 2012, 13:11 |
|
|
bozhday
Зарегистрирован: 15 янв 2010, 09:45 Сообщений: 406
|
Re: Логика и математика
Коловрат, а в чем именно затык? Непонятна суть конкретных примеров или общий контекст?
|
22 авг 2012, 13:24 |
|
|
Коловрат
Зарегистрирован: 15 янв 2010, 12:38 Сообщений: 1464
|
Re: Логика и математика
Непонятна суть конкретных примеров - и через это непонятен общий подтекст. Примеры желательно разжевать, разложить на более очевидные составляющие, ну как ты сделал в предыдущем посте - там всё совершенно понятно. А так всё упирается в язык.
Тема то ведь очень интересна и важна!
|
22 авг 2012, 17:29 |
|
|
Стравада
Зарегистрирован: 06 фев 2010, 23:21 Сообщений: 347
|
Re: Логика и математика
Небольшая неточность: перевод книги Шарля Серрюса "Опыт исследования значения логики" вышел в 1948 г., а сама книга была написана в 1939 году. Профессор Асмус упоминает во вступительной статье о поливалентных логиках (стр. 30), в частности о тривалентной - Истиное, Ложное, Абсурдное. Вывод Смирнова о том, что логика следует "свойствам" мыслимого четко прослеживается в статье. В частности, в математике ввод иррациональных чисел поколебал положения аристотелевой логики. В физике был открыт "принцип неопределённости Гейзенберга" который говорит о том, что невозможно одновременно точно знать скорость и положение частицы. Последнее разрушает постулаты механики, которая утверждает, что для точного описания движения частицы нужно знать её начальное положение и её скорость (поезд шел со станции А, со скоростью 60 км/ч и т.д.). Ньютоновская механика завязана на аристотелевскую логику. Признание новых физических фактов - свойства мыслимого - требуют ввода новой логики, соответствующей "мыслимому", т.е. соответствующей, объясняющей эксперименты. Классическая механика (а значит и логика) объяснить их не может. Не совсем так. Я повторюсь, что закон "умножения на ноль" не является мировоззренческой установкой. Это наложенное вето на решение этого вопроса на 100-150 лет. Это вето показывает, что мы, на данном этапе, не можем этот вопрос решить и откладываем его. Но в пользу человека. Это не совсем тот феномен. Прочитай статью целиком, там описываются сложные примеры "русского умножения". Например такой способ: "….. Итак, пусть нам необходимо умножить два числа.Например, числа: 987 и 1998.Одно запишем слева, а второе - справа на одной строчке. Левое число будем делить на 2, а правое - умножать на 2 и результаты записывать в столбик. Если при делении возникнет остаток, то он отбрасывается. Операцию продолжаем, пока слева не останется 1. Затем вычеркнем те строчки, в которых слева стоят четные числа и сложим оставшиеся числа в правом столбце. Это и есть искомое произведение. На Рис. дана графическая иллюстрация по данному описанию." Удивительно! Почему работает? Казалось бы совершенно бессмысленные действия. Автор статьи - Корнеев - считает, что в числовом ряду скрыты физические закономерности мира. Он считает, что есть некие закономерности чисел, которые описывают чуть ли не любой процесс в мире. В самом числовом ряду столько тайн! Казалось бы, например, как можно скрыть золотое сечение в числовом ряду? А числа Фибонначи прямо к нему отсылают.
Последний раз редактировалось Стравада 22 авг 2012, 19:28, всего редактировалось 2 раз(а).
|
22 авг 2012, 18:48 |
|
|
Кто сейчас на форуме |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9 |
|
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения
|
|