Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 62 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.
Логика, математика, физика 
Автор Сообщение
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 06 фев 2010, 23:21
Сообщений: 347
Сообщение Логика, математика, физика
В статье "Санкхья и Йога" Борис Леонидович Смирнов пишет:

"Путём невообразимых усилий, пройдя неизбежный путь социального, политико-экономического и культурного развития, человечество пришло к мысли, что логика не может быть построена как чисто формалистическая теория дедукции, что теория понятия, аксиоматика и учение о законах мышления неизбежно связаны со свойствами «мыслимого». Символика современной математической логики показала невозможность дальнейшего сохранения закона исключённого третьего в качестве универсального закона мышления… Признание случаев, когда невозможно утверждать ни равенство, ни неравенство двух чисел, означает для логики отказ от метода доказательства, известного под названием reductio ad absurdum (приведение к нелепости*)."
-----
* Ср. В. Асмус, введение к переводу кн. Серрюса: «Опыт исследования значения логики», стр. 21.

"Приведение к нелепости" известный способ доказательства и я сам часто к нему прибегаю. Поэтому меня заинтересовало, почему этот метод недействителен. Что это за случай, когда невозможно утверждать ни равенство, ни неравенство двух чисел? Вроде бы мы всегда и очень легко отличаем, равно одно число другому или не равно. Пришлось обратиться к книге, на которую ссылается Смирнов. В принципе, по фактам ничего нового я не узнал, а вот по выводам приходится согласиться - "третьего не бывает" не всегда работает. Мы все знаем, что есть иррациональные числа, например число Пи. Допустим у нас есть некое число "А" (3,14159....), совпадающее в десятичных знаках с числом Пи (3,14159....) на такую, невообразимую длину, после которой вычисление невозможно. Можем ли мы утверждать, равно А и Пи или не равно? Т.е. математика не обладает методом строгого и легкого различения одного иррационального числа от другого если они близки друг к другу. Т.е. возможна ситуация, когда "а или равно b, или не равно b".

Вроде бы все просто... Но рушится "универсальность" логики, причем даже в тех областях, где она традиционно применялась.


Последний раз редактировалось Стравада 17 дек 2012, 20:36, всего редактировалось 3 раз(а).



21 авг 2012, 20:08
Профиль
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 06 фев 2010, 23:21
Сообщений: 347
Сообщение "Русское умножение"
Феномен русского умножения.

Мы привыкли, что умножить два числа можно только определённым способом в столбик, как нас учили в школе. Однако, история знает другие способы умножения. Вот, в частности, способ "русского умножения", употреблявшийся русскими крестьянами. Используется свойство чисел, когда множитель делится на два, а множимое умножается на два, при этом произведение не меняется, т.к. умножение и деление взаимокомпенсируются.

16 * 75
8 * 150
4 * 300
2 * 600
1 * 1200

Ответ - 16*75 = 1200.
См. статью об этом на сайте Числнонавтика. Там рассматриваются и другие примеры "русского умножения".
http://numbernautics.ru/chislonautics/2 ... 6-11-04-13


21 авг 2012, 20:24
Профиль
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 15 янв 2010, 15:03
Сообщений: 1038
Сообщение Re: Логика и математика
Стравада писал(а):
рушится "универсальность" логики, причем даже в тех областях, где она традиционно применялась

Вовсе нет. Просто формальная логика имеет довольно узкий спектр применения. Я уж не говорю о диалектике, которая принципиально выходит за рамки бинарного выбора (да-нет, 1-0). Что касается приведенной цитаты Смирнова, то скорее всего он говорит о работах в области нечеткой логики, появившихся в середине 60-х гг. (математик Заде). В основе теории нечеткой логики лежит тезис, что помимо полярных утверждений "да" и "нет" вводятся промежуточные состояния, скажем, "не знаю", "возможно". "Пространство между "да" и "нет" математически определяется с помощью функции принадлежности. И это правильно, поскольку в жизни никогда не бывает однозначных "цифровых" положений. К слову, эта тема напрямую пересекается с обсуждением по ветке иноприродности.

Стравада писал(а):
Феномен русского умножения.

Подобными "феноменами" активно пользуются и сейчас и в школе и в быту. Вот еще примеры: если сумма цифр числа делится на три, то и все число делится на три, если последняя цифра четная - то число делится на два, если два число образованное двумя последними цифрами числа делится на 4, то все число делится на 4; пересчет масштаба, скажем 1:500 - не обязательно делить размер на 500, можно умножить его на два и отнять три порядка, масштаб 1:200 - умножаем на 5, и т.д. и т.п.


22 авг 2012, 09:20
Профиль
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 15 янв 2010, 09:45
Сообщений: 406
Сообщение Re: Логика и математика
Страж писал(а):
Что касается приведенной цитаты Смирнова, то скорее всего он говорит о работах в области нечеткой логики, появившихся в середине 60-х гг. (математик Заде).


Страж, мне кажется, что Смирнов говорит об общем кризисе фундамента математики начала ХХ века. На мой взгляд, основной причиной этого кризиса явилось то, что математики (начиная с Г. Кантора) замахнулись на невозможное - на бесконечность. Совершенно все противоречия формальной логики и теории множеств, так или иначе, вытекают из попыток включить в строгие математические построения понятие бесконечности (наравне со всеми другими понятиями). Но вся беда в том, что "бесконечность" обнаружила весьма странные свойства. Например, с ней трудно обращаться посредством догматов натурального ряда чисел и математической индукции - основы основ любого логического доказательства. К любому не очень большому числу можно добавить единицу и оно от этого увеличится ровно на 1. Но вероятно, добавление единицы к очень большим числам вообще не должно их менять. Тут проявляется совершенно иная логика, более близкая к физической реальности - когда добавление одной молекулы воды в океан совершенно не влияет на его макрообъем.
А канторовское противопоставление счетных и несчетных бесконечностей вообще привело к глубочайшим философским последствиям. Оказалось, что возможно мыслить сущности, которые нельзя назвать. Множество всех имен в любом языке счетно и следовательно меньше, чем множество мыслимых сущностей (которое несчетно). Часть мыслимых элементов остается без имени.
И т.д. и т.п.

Однако, кризис - лучший двигатель прогресса. Возникшая в математике "культура невозможного" и все попытки познания бесконечного принесли необычайные и далеко идущие результаты. Например, попытки преодоления парадокса Рассела привели в 30-ых годах ХХ века к созданию лямбда-исчисления, которое, в свою очередь, стало основой функционального подхода к программированию, которое в свою очередь позволяет преодолеть тупик фон-неймановской ограниченности нынешних компьютеров - а это, в свою очередь открывает необъятные перспективы для будущего вычислительной техники и всего информационного мира.
Другой пример (берущий начало из более ранних эпох) - невозможность решения уравнения 5-ой степени в радикалах. Техника медитации на эту частную невозможность привела к возникновению математической концепции групп, которая неожиданно оказалась родным языком для описания симметрии; а это в свою очередь глубоким образом повлияло на современное видение фундамента физического мира.
И таких примеров масса.


22 авг 2012, 10:29
Профиль
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 15 янв 2010, 15:03
Сообщений: 1038
Сообщение Re: Логика и математика
bozhday писал(а):
И таких примеров масса

Бождай, полностью согласен! И в ряду подобных примеров и пресловутый Шредингеров эксперимент, и современные представления физики элементарных частиц, сводящиеся по-сути к простому утверждению, что материя - это пустота. Т.е. твое утверждение, что
bozhday писал(а):
Смирнов говорит об общем кризисе фундамента математики начала ХХ века.
может быть расширено до кризиса позитивистского мировоззрения (так ярко продемонстрированного нам Азом) как такового.
Говоря уж совсем попросту, мир оказывается "несколько сложнее" схем и моделей, а это значит, что, во-первых, они применимы к какой-то весьма локальной локальности; во-вторых, попытки обобщения сделанные при помощи формально логических схем несут в себе неизбежную и принципиальную ошибку.


22 авг 2012, 10:50
Профиль
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 15 янв 2010, 12:38
Сообщений: 1462
Сообщение Re: Логика и математика
Здравствуйте, Сварожичи!

Бождай, всё понятно, но ничего не понятно!
Ты говоришь очень интересные вещи, но без экскурса в математику, то есть, без твоей подробной экскурсии для дилетантов, коими являются здесь почти все - твоё сообщение становится китайской грамотой. А хотелось бы разобраться, так как действительно очень интересно.

О Канторе я слышал, мне провели "экскурсию для дилетанта", и весь абзац, касающийся Кантора более-менее понятен. (Хотя, конечно, хотелось бы более подробного рассказа о "феномене Кантора".

А вот следующие абзацы - вызвали затык. Частично этот затык преодолевается обращением к Википедии и прочим средствам Интернета. Но только частично.

Короче говоря, если у тебя вдруг появится возможность провести подобную экскурсию, мы (говорю "мы", так как убеждён, что к этой просьбе присоединятся много людей) будем очень признательны.


22 авг 2012, 11:44
Профиль
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 15 янв 2010, 09:45
Сообщений: 406
Сообщение Re: Логика и математика
Страж писал(а):
Т.е. твое утверждение, что
bozhday писал(а):
Смирнов говорит об общем кризисе фундамента математики начала ХХ века.
может быть расширено до кризиса позитивистского мировоззрения.


Да, так и есть. Но я намеренно не стал затрагивать примеры из области физики, чтобы подчеркнуть сугубо "нефизичный" корень кризиса. Страж, упомянутые тобой примеры - это уже следующий шаг, когда противоречивые теоретические построения вошли в соприкосновение с реальным миром. Является ли материя пустотой? Ведь этот вопрос также упирается в бесконечность - применимо ли к материи операция бесконечного деления? Математика не видит в этом ничего невозможного и обращается с физическими вещами как с идеальными числами. А на деле (при неправильном понимании сути математики) такой подход неизбежно уводит в пустоту. Пустота здесь - это просто обозначение, признак "системного сбоя" мышления - типа деления на ноль. Я считаю, что все "чудеса" квантовой механики - это продукт математической идеализации, попытка один-в-один заменить элементы уравнений физическими аналогами. Реальность математична, но не в первом приближении!

Допустим, создаем новый математический объект Z путем операции Z=X+Y. Несмотря на математическую строгость этой операции, в физическом мире ее реализовать не всегда возможно.
Пусть X - яблоко, Y - груша, что тогда Z ? Просто яблоко и груша, т.е. X+Y=X+Y и никакого Z! При физической реализации почти все математические утверждения обращаются в тавтологию.
Можно и по-другому: пусть X - стакан воды, Y - стакан уксуса, что тогда Z? Некое новое образование, раствор. Однако получен он лишь благодаря тому, что X и Y перестали существовать, т.е. Z=Z! А в математике Z прекрасно образуется без всякого ущерба для X и Y. Это только простейшие опыты. При более сложных экспериментах нестыковки, разумеется, еще более серьезные.

Математика очень серьезная и могущественная магия. Но она не терпит прямого прикосновения руками.


22 авг 2012, 13:11
Профиль
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 15 янв 2010, 09:45
Сообщений: 406
Сообщение Re: Логика и математика
Коловрат писал(а):
А вот следующие абзацы - вызвали затык. Частично этот затык преодолевается обращением к Википедии и прочим средствам Интернета. Но только частично.

Короче говоря, если у тебя вдруг появится возможность провести подобную экскурсию, мы (говорю "мы", так как убеждён, что к этой просьбе присоединятся много людей) будем очень признательны.


Коловрат, а в чем именно затык? Непонятна суть конкретных примеров или общий контекст?


22 авг 2012, 13:24
Профиль
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 15 янв 2010, 12:38
Сообщений: 1462
Сообщение Re: Логика и математика
Непонятна суть конкретных примеров - и через это непонятен общий подтекст. Примеры желательно разжевать, разложить на более очевидные составляющие, ну как ты сделал в предыдущем посте - там всё совершенно понятно. А так всё упирается в язык.

Тема то ведь очень интересна и важна!


22 авг 2012, 17:29
Профиль
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 06 фев 2010, 23:21
Сообщений: 347
Сообщение Re: Логика и математика
Страж писал(а):
Что касается приведенной цитаты Смирнова, то скорее всего он говорит о работах в области нечеткой логики, появившихся в середине 60-х гг. (математик Заде). В основе теории нечеткой логики лежит тезис, что помимо полярных утверждений "да" и "нет" вводятся промежуточные состояния, скажем, "не знаю", "возможно". "Пространство между "да" и "нет" математически определяется с помощью функции принадлежности. И это правильно, поскольку в жизни никогда не бывает однозначных "цифровых" положений.


Небольшая неточность: перевод книги Шарля Серрюса "Опыт исследования значения логики" вышел в 1948 г., а сама книга была написана в 1939 году. Профессор Асмус упоминает во вступительной статье о поливалентных логиках (стр. 30), в частности о тривалентной - Истиное, Ложное, Абсурдное. Вывод Смирнова о том, что логика следует "свойствам" мыслимого четко прослеживается в статье. В частности, в математике ввод иррациональных чисел поколебал положения аристотелевой логики. В физике был открыт "принцип неопределённости Гейзенберга" который говорит о том, что невозможно одновременно точно знать скорость и положение частицы. Последнее разрушает постулаты механики, которая утверждает, что для точного описания движения частицы нужно знать её начальное положение и её скорость (поезд шел со станции А, со скоростью 60 км/ч и т.д.). Ньютоновская механика завязана на аристотелевскую логику. Признание новых физических фактов - свойства мыслимого - требуют ввода новой логики, соответствующей "мыслимому", т.е. соответствующей, объясняющей эксперименты. Классическая механика (а значит и логика) объяснить их не может.

Страж писал(а):
К слову, эта тема напрямую пересекается с обсуждением по ветке иноприродности.


Не совсем так. Я повторюсь, что закон "умножения на ноль" не является мировоззренческой установкой. Это наложенное вето на решение этого вопроса на 100-150 лет. Это вето показывает, что мы, на данном этапе, не можем этот вопрос решить и откладываем его. Но в пользу человека.

Страж писал(а):
Подобными "феноменами" активно пользуются и сейчас и в школе и в быту.


Это не совсем тот феномен. Прочитай статью целиком, там описываются сложные примеры "русского умножения". Например такой способ:

"….. Итак, пусть нам необходимо умножить два числа.Например, числа: 987 и 1998.Одно запишем слева, а второе - справа на одной строчке. Левое число будем делить на 2, а правое - умножать на 2 и результаты записывать в столбик. Если при делении возникнет остаток, то он отбрасывается.
Операцию продолжаем, пока слева не останется 1. Затем вычеркнем те строчки, в которых слева стоят четные числа и сложим оставшиеся числа в правом столбце. Это и есть искомое произведение. На Рис. дана графическая иллюстрация по данному описанию."

Изображение

Удивительно! Почему работает? Казалось бы совершенно бессмысленные действия. Автор статьи - Корнеев - считает, что в числовом ряду скрыты физические закономерности мира. Он считает, что есть некие закономерности чисел, которые описывают чуть ли не любой процесс в мире. В самом числовом ряду столько тайн! Казалось бы, например, как можно скрыть золотое сечение в числовом ряду? А числа Фибонначи прямо к нему отсылают.


Последний раз редактировалось Стравада 22 авг 2012, 19:28, всего редактировалось 2 раз(а).



22 авг 2012, 18:48
Профиль
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 62 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.


Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron