Как быть с таким примером? Пусть Х - яблоко, Y - яблоко. Z = X + Y. Что тогда Z? Два яблока? А разве бывают в жизни два одинаковых яблока? Ведь строго говоря, яблоко и другое яблоко, взятые предметно, могут быть столь же различны, как и яблока и груша. Причем, когда мы говорим - давайте сложим шпалы с яблоками, часы и трусы, то вызываем смех у слушающих, но когда мы говорим - давайте сложим яблоко с яблоком, то все с почтением внимают. А по сути - процессы те же. Т.е. опредмечивая мир, объективируя его, мы теряем что-то важное. Мы научаемся складывать предметы - яблоко + груша = два предмета (корзина яблок + корзина груш = две корзины фруктов и т.д.), но теряем непосредственный контакт с миром, с Жизнеформой.

Стравада, совершенно верно. В твоем примере видно еще одно принципиальное различие математических и физических объектов. Любой математический объект может существовать в неограниченном количестве идентичных образцов. Но к физическому миру этот факт не применим.

Вот, например, явление филотаксиса (расположение листьев на стебле) описывается последовательностью Фибоначчи. Хотя я встречал опровержения в инете - де выдумка любителей золотого сечения. Но все же, в числовом ряде заложены какие-то закономерности? Число это тайна? А мы его используем в суете и быте - корзинки считаем?

Эту цепь событий можно развернуть следующим образом.
В 1895 году Г.Кантор, разрабатывая теорию бесконечных множеств, столкнулся с вопиющим противоречием, связанным с множеством всех множеств. С одной стороны, мощность (кол-во элементов) такого сверхмножества должна быть предельным числом. Но с другой стороны, как ранее доказал сам же Кантор, для любого, сколь угодно мощного множества, найдется число, превышающее его исходную мощность. Иными словами, возникла невозможность однозначного ответа на вопрос "существует ли что-то за пределами множества всех множеств?"
В 1903 г. Б.Рассел, пытаясь преодолеть эту невозможность, переформулировал парадокс таким образом, что это привело к катастрофе и пошатнуло понятие самого множества (между прочим неопределимого и аксиоматичного в математике). Правда, осторожный Рассел использовал термин "класс", а не "множество", но сути это не меняет. Я не буду здесь приводить его математическую формулировку. Общая суть оставалась прежней, канторовской: включает ли множество всех множеств само себя? - любой ответ приводит к логическому противоречию. Чуть позже (в 1918 г.), Рассел облек этот парадокс в популярную форму, получившую название "парадокс брадобрея" - также не буду его воспроизводить, т.к. он хорошо известен любой википедии.

К этому моменту, хлынули потоком и другие парадоксы схожего смысла. Их даже начали классифицировать. Например, было выделено две основных группы: семантические (языковые, связанные с некорректными формулировками и словоупотреблениями) и истинные (логические). Например, аристотелевский "парадокс лжеца" является семантическим. А вот парадокс Кантора-Рассела уже логический. Считалось, что семантические парадоксы не столь ужасны, поскольку их можно переформулировать таким образом, что отпадет сам предмет противоречия. С логическими парадоксами никакие подобные фокусы не проходят.

В середине 30-ых годов американец А.Черч попытался преодолеть невозможное и найти способ переформулировать парадокс Рассела и, таким образом, свести страшную проблему к чисто семантическому недоразумению. Для этого он разработал особый язык - лямбда-исчисление (а по-сути просто несколько видоизменил нотацию теории множеств). Впрочем, цели своей Черч не достиг, но разработанный язык остался и как показала история - не напрасно.

Прошло лет 30 и появились компьютеры. И вместе с ними очередная невозможность. Кратко ее можно охарактеризовать так. Почти с самого момента своего возникновения и по сей день основой любого классического компьютера является, так называемая архитектура Джона фон Неймана. По сути, это обычный конвейер, по которому цепочкой (строго одна за другой) двигаются команды. А процессор, типа мясорубки, обрабатывает их одну за другой. И скорость движения конвейера и скорость "мясорубки" конечные. Очень скоро этот скоростной предел был достигнут и вычислительная техника уперлась в тупик. Даже если поставить несколько мясорубок с целью параллельной обработки, цепочка команд единая и разделить ее на несколько потоков далеко не всегда удается. Мешает сам алгоритмический принцип выполнения программ - пока первая команда не выполнена, выполнение второй не начнется. До сих пор, все современные "мультиядерные" персоналки и многопроцессорные системы в каком-то смысле являются фикцией параллельных вычислений. Нужен другой принцип! Чтобы команды были организованы не цепочкой, а в неким "облаком" с произвольным порядком исполнения.Только так можно поставить несколько мясорубок и заставить их молотить "облако" одновременно.

И тут одна невозможность встретилась с другой и возникло решение - так называемый функциональный подход к программированию. Программа состоит не из цепочки команд, а из облака функций и сама является функцией. А функция это такая маленькая математическая "мясорубка", которая получает какие-то данные на вход и преобразует их в другие данные на выход. Функции могут выполняться в любой последовательности при условии, что известны их входные данные. Теоретически, можно поставить столько процессоров, сколько функций в облаке программы и это будет истинной параллельностью вычисления с колоссальным выигрышем в производительности. Аппарат лямбда-исчисления поразительным образом "вписался" в решение этой проблемы, хотя изначально совершенно не предназначался для этого. Это, кстати, хорошая иллюстрация к вопросу о поле интерпретаций!

Вот такая, отдельно взятая история продуктивной работы над невозможностями.

Помнишь, когда-то давно, здесь на форуме мы уже это обсуждали. Как раз речь шла тогда о закономерностях и их крайних формах выражения - случайностях.

Благодарю Бождай!
Это любопытно и познавательно. Мозги, честно говоря выпариваются от таких утверждений:

"Класс всех классов все же есть класс и таким образом является членом самого себя. В то же время этим свойством обладают отнюдь не все классы; класс "человек" не есть человек. Если мы обозначим посредством W класс всех тех классов, которые, как и класс "человек", не являются членами самих себя, то в таком случае утверждение "х есть W" для всякого класса х эквивалентно утверждению "х не есть х" (класс "человек" не есть человек). Если теперь мы дадим х значение W, мы получим, что "W есть W" эквивалентно предложению "W не есть W"".

В википедии как-то все просто описано и понятнее:

"Пусть К — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли К само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению , оно не должно быть элементом — противоречие. Если нет — то, по определению , оно должно быть элементом — вновь противоречие".

Но что мы обсуждали, я наверное забыл или не могу связать с этой веткой.
Вспомнил! Почти год прошел, время летит. Да, похоже. Только здесь вопрос ставится так: сокрыты ли некие закономерности (законы необходимого, законы мироздания) в числовом ряде? Т.е., есть ли будущее за нумерологией, вскрывает ли она что-то в миропроявлении или это ложная установка? Я помню на заре СМТВ некоторые наши Вираты увлекались древом языка Сотниковой. Чистая нумерология, но выходили на какие-то кольца, какие-то ветви. Что-то типа постоянной Капрекара (см. в Википедии). Уже сейчас мало что помню и это частность конечно. Но, такая частность, которая показывает, что и к языку числа имеют отношения (или могут иметь) и к положению листьев на ветке и ещё к чему. Стоит ли тайна за числом?

Стравада, на мой взгляд связь между физическими законами мироздания и числовыми рядами очевидна. И там и там проявлены одни и те же закономерности распределения, формообразования, порядка. Трудно судить о первичности-вторичности математических законов по отношению к физическим. Это из раздела догматов философской веры. Меня во всем этом больше поражает всеобщность соответствия "число-мир". Не устаю любоваться этим совершенством. Математическая красота словно играет роль предварительного условия для физических истин.

И дело тут не столько в свойствах и генезисе числа как такового. Ведь, как я понимаю, нумерология сродни обычному символизму. Числам аксиоматически приписывается набор свойств и образов, а потом начинается игра их сочетаний. Также как в астрологии, где вместо чисел роль символов выполняют небесные тела. Математика завязана на куда более серьезных вещах и кроме чисел имеет дело с множеством других абстракций: функции, пространства, матрицы, поля, группы, тензоры и т.п. И удивительно то, что в реальности находят выражение самые абстрактные и оторванные от физики математические объекты и законы. Видимо, чем более абстрактна идея, тем обширнее ее поле интерпретаций и в этом причина колоссальной эффективности математики в прикладных областях.

Был период в истории человечества, когда сначала обнаруживались и фиксировались явления, а потом под них подводилась математическая база. С недавних пор все происходит обратным образом - решение уравнений дает ответ и этот ответ вскоре обнаруживается в облике физического явления. История математики просто пестрит такими фактами. Гаусс, Риман, Галуа, Лобачевский, Пуанкаре, опередив свое время, занимались обычным фантазерством, умозрительными играми - без какого-то намека на практическую реализацию и системный анализ. Они не ведали ядерной энергетики, космических скоростей, плазменных установок. Но их умозрительные игры сбылись с чудовищной точностью и обрели серьезную силу.





Думаю, что это та же Тайна, что обрамляет наш мир.

Узкоспециальный вопрос к bozhday

Каким должен быть x
x++[]=x

столкнувшись недавно вот с этим равенством довольно долго размышлял о том, что должно получиться в итоге. Ответ оказался интересен [[]]. Т.е. для того, чтобы выразить принадлежность к тому или иному классу, нужно ввести дополнительное измерение внутри текущего класса?

Да, но [[]] это очень частный случай. Вообще говоря x может быть любым вектором или списком.



А где здесь выражена принадлежность к классу?

Aetet, далее по "узкоспециальным" вопросам пиши лучше в личку. Это же захламляет тему.

Бождай, тебе удалось всё очень интересно и понятно объяснить. Спасибо!

Впрочем, я так и не смог понять, каким образом работает это самое "облако функций" в компьютере. Ну, если в данном алгоритме пока не выполнена операция А, невозможно приступить к исполнению операции Б, и так далее - то каким образом можно обойти эту трудность?

И ещё вопрос. Когда-то давно я понял, что функция только тогда является функцией (то есть реальной действующей силой, а не фантазией), когда она содержит в себе качество, не содержащееся в исходных параметрах. Для математики это так?